CALCOLO. Teoria e esercizi

Il presente manuale riprende – ed in parte amplia – le lezioni di Calcolo differenziale ed integrale per funzioni di una variabile reale che l’Autore ha tenuto e tuttora tiene in vari corsi di laurea presso l’Università degli Studi di Pisa. Il tema principale è svolto in modo accessibile allo studente, ma senza rinunciare al rigore matematico e, fin dove possibile, alla completezza del discorso, con particolare attenzione ad esempi e contro esempi e con una ricca serie di esercizi svolti.
Le parti ritenute meno importanti – almeno ad un primo livello di lettura – comprese alcune dimostrazioni a carattere prettamente tecnico, sono riportate in appendice ai vari capitoli, così da non distogliere l’attenzione dal filo conduttore del tema principale. Il manuale può dunque essere seguito in modi diversi a seconda del livello di approfondimento che interessa raggiungere. Questa possibilità di scegliere tra un “percorso breve” ed uno “completo” lo rende adatto a corsi di laurea tra loro diversi.
Sono stati trattati anche alcuni argomenti che non sono consueti in un manuale di Calcolo per funzioni di una variabile, quali ad esempio le equazioni differenziali lineari o a variabili separate e le serie di Fourier (in entrambi i casi sono forniti i risultati essenziali e mostrate le principali tecniche di calcolo). La scelta è motivata dal fatto che in alcuni corsi di laurea il programma di Calcolo è concentrato in un unico corso: è dunque importante che in questa semplificazione dei programmi non vadano persi argomenti che pure hanno una particolare importanza per svariati corsi a carattere fisico o tecnico.
La scelta degli esercizi è stata fatta con lo scopo principale che lo studente possa misurare il grado di abilità di volta in volta acquisito in fatto di calcolo.

Nel presente volume – il secondo dei due che compongono il manuale – è esposta l’estensione del campo numerico dai reali ai complessi. In particolare, dopo le varie definizioni e proprietà dei numeri complessi, si esaminano alcune applicazioni di natura algebrica (scomposizione di un polinomio in fattori irriducibili) e geometrica (rotazioni nel piano, cenni allo studio delle coniche e alla loro riduzione a forma canonica).
Successivamente è introdotto il Calcolo Integrale indefinito (con lo studio di varie tecniche di calcolo di primitive) e definito (nella forma di Riemann). Il teorema fondamentale del calcolo integrale mette in relazione i due concetti.
Dell’integrale definito sono date varie applicazioni geometriche (area di una regione del piano, volume e superficie di un solido, lunghezza di una curva).
Infine sono forniti cenni sulle equazioni differenziali (lineari e a variabili separate) e sulle successioni e le serie di funzioni (serie di Taylor e di Fourier), mettendo in rilievo i principali risultati.